如图,抛物线l:y=﹣x2+bx+c(b,c为常数),其顶点E在正方形ABCD内或边上,已知点A(1,2),B...
问题详情:
如图,抛物线l:y=﹣x2+bx+c(b,c为常数),其顶点E在正方形ABCD内或边上,已知点A(1,2),B(1,1),C(2,1).
(1)直接写出点D的坐标;
(2)若l经过点B,C,求l的解析式;
(3)设l与x轴交于点M,N,当l的顶点E与点D重合时,求线段MN的值;
当顶点E在正方形ABCD内或边上时,直接写出线段MN的取值范围;
(4)若l经过正方形ABCD的两个顶点,直接写出所有符合条件的c的值.
【回答】
【解答】解:(1)由正方形ABCD内或边上,已知点A(1,2),B(1,1),C(2,1),得
D点的横坐标等于C点的横坐标,即D点的横坐标为2,
D点的纵坐标等于A点的纵坐标,即D点的纵坐标为2,
D点的坐标为(2,2);
(2)把B(1,1)、C(2,1)代入解析式可得
,
解得
所以二次函数的解析式为y=﹣x2+3x﹣1;
(3)由此时顶点E的坐标为(2,2),得
抛物线解析式为y=﹣(x﹣2)2+2
把y=0代入得﹣(x﹣2)2+2=0
解得x1=2﹣,x2=2+,
即N(2+,0),M(2﹣,0),
所以MN=2+﹣(2﹣)=2.
点E的坐标为B(1,1),得
抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+1
把y=0代入得﹣(x﹣1)2+1=0
解得x1=0,x2=2,
即N(2,0),M(0,0),
所以MN=2﹣0=2.
点E在线段AD上时,MN最大,
点E在线段BC上时,MN最小;
当顶点E在正方形ABCD内或边上时,2≤MN≤2;
(4)当l经过点B,C时,二次函数的解析式为y=﹣x2+3x﹣1,
c=﹣1;
当l经过点A、D时,E点不在正方形ABCD内或边上,故排除;
当l经过点B、D时,,解得,即c=﹣2;
当l经过点A、C时,,解得,即c=1;
综上所述:l经过正方形ABCD的两个顶点,所有符合条件的c的值为﹣1,1,﹣2.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题