如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），...

问题详情：

如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；

（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

【回答】

【解答】解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2

∴A（2，0）

∵OA：AD＝1：3

∴AD＝3OA＝6

∵四边形ABCD是矩形

∴AD⊥AB

∴D（2，﹣6）

∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E

∴   解得：

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x

（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'

∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8

∴抛物线对称轴为直线x＝4

∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）

∴yC＝yD＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称

∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）

∴AB＝CD＝4，B（6，0）

∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°

∴∠BAM＝45°

∴BM＝AB＝4

∴M（6，﹣4）

∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上

∴M'（6，4），FM＝FM'

∵N为CD中点

∴N（4，﹣6）

∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上

∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'

∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'

∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小

∴C四边形MNGF＝MN+M'N'＝＝2+10＝12

∴四边形MNGF周长最小值为12．

（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为．

过点P作PE∥y轴交直线OD于点E

∵D（2，﹣6）

∴OD＝，直线OD解析式为y＝﹣3x

设点P坐标为（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）

①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧

∴PE＝yE﹣yP＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t

∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝PE•xP+PE•（xD﹣xP）＝PE（xP+xD﹣xP）＝PE•xD＝PE＝﹣t2+t

∵△ODP中OD边上的高h＝，

∴S△ODP＝OD•h

∴﹣t2+t＝×2×

方程无解

②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧

∴PE＝yP﹣yE＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t

∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝PE•xP﹣PE•（xP﹣xD）＝PE（xP﹣xP+xD）＝PE•xD＝PE＝t2﹣t

∴t2﹣t＝×2×

解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6

∴P（6，﹣6）

综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．

（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L

∵KL平分矩形ABCD的面积

∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4

∴K（m，0），L（2+m，0）

连接AC，交KL于点H

∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD

∴S△AHK＝S△CHL

∵AK∥LC

∴△AHK∽△CHL

∴

∴AH＝CH，即点H为AC中点

∴H（4，﹣3）也是KL中点

∴

∴m＝3

∴抛物线平移的距离为3个单位长度．

知识点：各地中考

题型：综合题