如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣4)与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧),与x轴相交于点C,点D在线段C...
问题详情:
如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣4)与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧),与x轴相交于点C,点D在线段CB上(点D不与B、C重合),过点D作CA的平行线,与抛物线相交于点E,直线BC的解析式为y=kx+2.
(1)抛物线的解析式为 ;
(2)求线段DE的最大值;
(3)当点D为BC的中点时,判断四边形CAED的形状,并加以*.
【回答】
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)先利用一次函数解析式确定C(0,2),然后把C点坐标代入y=a(x﹣1)(x﹣4)中求出a即可;
(2)如图1,过点D、E分别作y轴、x轴的平行线,两线相交于点F,先解方程(x﹣1)(x﹣4)=0得A(1,0),B(4,0),再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+2,设E(m, m2﹣m+2),EF=n,则D(m﹣n,﹣ m+n+2),则DF=﹣m+n+2﹣(m2﹣m+2)=﹣m2+2m+n,接着*Rt△OCA∽Rt△FDE,利用相似比得到=2,则﹣m2+2m+n=2n,所以n=﹣m2+m,利用勾股定理得DE=﹣m2+m,然后根据二次函数的*质解决问题;
(3)利用两点间的距离公式得到AC=,BC=2,再利用点D为BC的中点得到D(2,1),CD=,易得直线AC的解析式为y=﹣2x+2,接着求出直线DE的解析式为y=﹣2x+5,
于是解方程组得E(3,﹣1),所以DE=,然后根据菱形的判定方法可判断四边形CAED为菱形.
【解答】解:(1)当x=0时,y=kx+2=2,则C(0,2),
把C(0,2)代入y=a(x﹣1)(x﹣4)得a•(﹣1)•(﹣4)=2,解得a=,
∴抛物线解析式为y=(x﹣1)(x﹣4),即y=x2﹣x+2;
故*为y=x2﹣x+2;
(2)如图1,过点D、E分别作y轴、x轴的平行线,两线相交于点F,
当y=0时,(x﹣1)(x﹣4)=0,解得x1=1,x2=4,则A(1,0),B(4,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把C(0,2),B(4,0)代入得,解得,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+2,
设E(m, m2﹣m+2),EF=n,则D(m﹣n,﹣ m+n+2),
∴DF=﹣m+n+2﹣(m2﹣m+2)=﹣m2+2m+n,
∵OC∥DF,
∴∠OCB=∠FDB,
∵DE∥CA,
∴∠ACB=∠EDB,
∴∠OCA=∠FDE,
∴Rt△OCA∽Rt△FDE,
∴=,
∴===2,
∴﹣m2+2m+n=2n,
∴n=﹣m2+m,
在Rt△DEF中,DE==EF=n=﹣m2+m,
∵DE=﹣(m﹣2)2+,
∴当m=2时,DE的长有最大值,最大值为;
(3)四边形CAED为菱形.理由如下:
AC==,BC==2,
∵点D为BC的中点,
∴D(2,1),CD=,
易得直线AC的解析式为y=﹣2x+2,
设直线DE的解析式为y=﹣2x+p,
把D(2,1)代入得1=﹣4+p,解得p=4,
∴直线DE的解析式为y=﹣2x+5,
解方程组得或,则E(3,﹣1),
∴DE==,
∴AC=DE,
而AC∥DE,
∴四边形CAED为平行四边形,
∵CA=CD,
∴四边形CAED为菱形.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题