如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（...
问题详情：
如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
【回答】
（1）抛物线的解析式为y=﹣
x2+
x+1；（2）点P的坐标为（1，
）或（2，1）；（3）存在，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可；
（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y=﹣
x+1，设点P（x，﹣
x2+
x+1），则D（x，﹣
x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；
（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的*质可得到点M为直线y=﹣x与x=1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．
【详解】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣
，
∴抛物线的解析式为y=﹣
x2+
x+1；
（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则
，解得：k=﹣
，
∴直线BC的解析式为y=﹣
x+1，
设点P（x，﹣
x2+
x+1），则D（x，﹣
x+1），
∴PD=（﹣
x2+
x+1）﹣（﹣
x+1）=﹣
x2+x，
∴S△PBC=
OB•DP=
×3×（﹣
x2+x）=﹣
x2+
x，
又∵S△PBC=1，
∴﹣
x2+
x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，
∴点P的坐标为（1，
）或（2，1）；
（3）存在．
∵A（﹣1，0），C（0，1），
∴OC=OA=1，
∴∠BAC=45°，
∵∠BQC=∠BAC=45°，
∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点，
设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，
设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，
解得：x=
（负值已舍去），
∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x，AB的垂直平分线为直线x=1，
∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点，即M（1，﹣1），
∴Q的坐标为（1，﹣1﹣
）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的*质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．
知识点：二次函数单元测试
题型：解答题
