在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣2,0),B(8,0).(1)求抛物线的解析式...
问题详情:
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣2,0),B(8,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点C是抛物线与y轴的交点,连接BC,设点P是抛物线上在第一象限内的点,PD⊥BC,垂足为点D.
①是否存在点P,使线段PD的长度最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
②当△PDC与△COA相似时,求点P的坐标.
【回答】
【解答】解:(1)把A(﹣2,0),B(8,0)代入抛物线y=﹣x2+bx+c,
得:,解得:,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+4;(3分)
(2)由(1)知C(0,4),∵B(8,0),
易得直线BC的解析式为:y=﹣x+4,
①如图1,过P作PG⊥x轴于G,PG交BC于E,
Rt△BOC中,OC=4,OB=8,
∴BC==4,
在Rt△PDE中,PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB=PE,
∴当线段PE最长时,PD的长最大,
设P(t,),则E(t,),
∴PG=﹣,EG=﹣t+4,
∴PE=PG﹣EG=(﹣)﹣(﹣t+4)=﹣t2+2t=﹣(t﹣4)2+4,(0<t<8),
当t=4时,PE有最大值是4,此时P(4,6),
∴PD==,
即当P(4,6)时,PD的长度最大,最大值是;(7分)
②∵A(﹣2,0),B(8,0),C(0,4),
∴OA=2,OB=8,OC=4,
∴AC2=22+42=20,AB2=(2+8)2=100,BC2=42+82=80,
∴AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,
∴△COA∽△BOC,
当△PDC与△COA相似时,就有△PDC与△BOC相似,
∵相似三角形的对应角相等,
∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO,
(I)若∠PCD=∠CBO时,即Rt△PDC∽Rt△COB,
此时CP∥OB,
∵C(0,4),
∴yP=4,
∴)=4,
解得:x1=6,x2=0(舍),
即Rt△PDC∽Rt△COB时,P(6,4);
(II)若∠PCD=∠BCO时,即Rt△PDC∽Rt△BOC,
如图2,过P作x轴的垂线PG,交直线BC于F,
∴PF∥OC,
∴∠PFC=∠BCO,
∴∠PCD=∠PFC,
∴PC=PF,
设P(n,+n+4),则PF=﹣+2n,
过P作PN⊥y轴于N,
Rt△PNC中,PC2=PN2+CN2=PF2,
∴n2+(+n+4﹣4)2=(﹣+2n)2,
解得:n=3,
即Rt△PDC∽Rt△BOC时,P(3,);
综上所述,当△PDC与△COA相似时,点P的坐标为(6,4)或(3,).(12分)
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、勾股定理的逆定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和*质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会根据方程解决问题,属于中考压轴题.
知识点:各地中考
题型:综合题