如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接A...

问题详情：

如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．

（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由；

（2）求*：ND＝NE；

（3）若DE＝2，EC＝3，求BC的长．

【回答】

【解答】（1）解：四边形AMCD是菱形，理由如下：

∵M是Rt△ABC中AB的中点，

∴CM＝AM，

∵CM为⊙O的直径，

∴∠CNM＝90°，

∴MD⊥AC，

∴AN＝CN，

∵ND＝MN，

∴四边形AMCD是菱形．

（2）∵四边形CENM为⊙O的内接四边形，

∴∠CEN+∠CMN＝180°，

∵∠CEN+∠DEN＝180°，

∴∠CMN＝∠DEN，

∵四边形AMCD是菱形，

∴CD＝CM，

∴∠CDM＝∠CMN，

∴∠DEN＝∠CDM，

∴ND＝NE．

（3）∵∠CMN＝∠DEN，∠MDC＝∠EDN，

∴△MDC∽△EDN，

∴，

设DN＝x，则MD＝2x，由此得，

解得：x＝或x＝﹣（不合题意，舍去），

∴，

∵MN为△ABC的中位线，

∴BC＝2MN，

∴BC＝2．

【点评】本题考查了圆综合知识，熟练运用圆周角定理、菱形的判定与*质、直角三角形的*质、勾股定理以及相似三角形的判定与*质是解题的关键．

知识点：各地中考

题型：解答题