如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点M，N，分别以M，N为圆心...

问题详情：

如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A、E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF=，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正确的是（　　）

A．①②③                  B．②③④                   C．①③④                  D．①②④

【回答】

A

【解析】

①在△AOL和△BLK中，根据三角形内角和定理，如图两个角对应相等，则第三个角∠LKB=∠BAC=22.5°；

②根据线段中垂线定理*∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，可得EG∥AB；

③根据等量代换可得：∠CGF=∠BLK，可作判断；

④连接EL，*四边形ALEG是菱形，根据EL＞BL，及相似三角形的*质可作判断．

【详解】

①∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠BAD=45°，

由作图可知：AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE=22.5°，

∵PQ是AE的中垂线，

∴AE⊥PQ，

∴∠AOL=90°，

∵∠AOL=∠LBK=90°，∠ALO=∠KLB，

∴∠LKB=∠BAE=22.5°；

故①正确；

②∵OG是AE的中垂线，

∴AG=EG，

∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，

∴EG∥AB，

故②正确；

③∵∠LAO=∠GAO，∠AOL=∠AOG=90°，

∴∠ALO=∠AGO，

∵∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO，

∴∠CGF=∠BLK，

在Rt△BKL中，tan∠CGF=tan∠BLK=，

故③正确；

④连接EL，

∵AL=AG=EG，EG∥AB，

∴四边形ALEG是菱形，

∴AL=EL=EG＞BL，

∴，

∵EG∥AB，

∴△CEG∽△CBA，

∴，

故④不正确；

本题正确的是：①②③，

故选A．

【点睛】

本题考查了基本作图：角平分线和线段的垂直平分线，三角形相似的*质和判定，菱形的*质和判定，三角函数，正方形的*质，熟练掌握基本作图是关键，在正方形中由于*质比较多，要熟记各个*质并能运用；是中考常考的选择题的压轴题．

知识点：特殊的平行四边形

题型：选择题