如图,D是正△ABC的外接圆⊙O上弧AB上一点,给出下列结论:①∠BDC=∠ADC=60°;②AE•BE=CE...
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如图,D是正△ABC的外接圆⊙O上弧AB上一点,给出下列结论:①∠BDC=∠ADC=60°;②AE•BE=CE•ED;③CA2=CE•CD;④CD=BD+AD.其中正确的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【回答】
A【考点】相似三角形的判定与*质;等边三角形的*质;圆周角定理.
【分析】连接AD,根据等边三角形的*质得到∠BAC=∠ABC=60°,由圆周角定理得到∠BDC=∠BAC=60°,∠ADC=∠ABC=60°,于是得到∠BDC=∠ADC=60°,故①正确;根据圆周角定理得到∠D=∠A,∠ABD=∠ACD,推出△BDE∽△ACE,根据相似三角形的*质即可得到AE•BE=CE•ED;故②正确;由于∠ADC=∠EAC=60°,∠ACE=∠ACD,得到△ACD∽△ACE,根据相似三角形的*质得到CA2=CE•CD;故③正确;在CD上截取CF=BD,通过△ABD≌△ACF,得到AD=AF,推出△ADF是等边三角形,得到DF=AD,等量代换即可得到结论.
【解答】解:连接AD,∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ABC=60°,
∴∠BDC=∠BAC=60°,∠ADC=∠ABC=60°,
∴∠BDC=∠ADC=60°,故①正确;
∵∠D=∠A,∠ABD=∠ACD,
∴△BDE∽△ACE,
∴,
∴AE•BE=CE•ED;故②正确;
∵∠ADC=∠EAC=60°,∠ACE=∠ACD,
∴△ACD∽△ACE,
∴,
∴CA2=CE•CD;故③正确;
在CD上截取CF=BD,
在△ABD与△ACF中,,
∴△ABD≌△ACF,
∴AD=AF,
∵∠ADC=60°,
∴△ADF是等边三角形,
∴DF=AD,
∵CD=CF+DF,
∴CD=BD+AD.故④正确.
故选A.
【点评】此题考查了圆周角定理,全等三角形的判定和*质,等边三角形的*质,相似三角形的判定与*质,熟练掌握定理及*质是解本题的关键.
知识点:相似三角形
题型:选择题