在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300km的海面P处,并以20...
问题详情:
在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处,并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60 km,并以10 km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
【回答】
解法一:设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60 (km).
若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则OQ≤10t+60.
由余弦定理知
由于 PO=300,PQ=20t,
cos∠OPQ=cos(θ-45°)
=cosθcos45°+sinθsin45°
故
因此 202t2-9600t+3002≤(10t+60)2,
即 t2-36t+288≤0,
解得 12≤t≤24.
答:12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
解法二:如图建立坐标系:以O为原点,正东方向为x轴正向,
在时刻t(h)台风中心的坐标为
此时台风侵袭的区城是
其中r(t)=10t+60.
若在t时刻城市O受到台风的侵袭,则有
即 ≤(10t+60)2,
即 r2-36t+288≤0,
解得 12≤t≤24.
答:12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
知识点:三角函数
题型:计算题