设a，b，c为△ABC的三边，求*：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A...

问题详情：

设a，b，c为△ABC的三边，求*：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

【回答】

*：必要*：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x02＋2ax0＋b2＝0，x02＋2cx0－b2＝0.

两式相减，得x0＝，将此式代入x02＋2ax0＋b2＝0，

可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.

充分*：∵∠A＝90°，

∴b2＝a2－c2.①

将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，

可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.

将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，

可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，

即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.

故两方程有公共根x＝－(a＋c)．

∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

知识点：常用逻辑用语

题型：解答题