已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)<f(3)．(1)求k的值并求出相应的f(x)的...

问题详情：

已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)<f(3)．

(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；

(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为[－4，]？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．

【回答】

 (1)∵f(2)<f(3)，

∴f(x)在第一象限是增函数．

故－k2＋k＋2>0，解得－1<k<2.

又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.

当k＝0或k＝1时，－k2＋k＋2＝2，

∴f(x)＝x2.

(2)假设存在q>0满足题设，由(1)知

g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．

∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点(，)处取得．

而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，

∴g(x)max＝＝，

g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.

q＝2.∴存在q＝2满足题意．

知识点：*与函数的概念

题型：解答题