如图，已知AB=AC，直线m经过点A，点D，E是直线m上的两个动点，连接BD，CE．（1）如图①，若∠BAC=...
问题详情：
如图，已知AB=AC，直线m经过点A，点D，E是直线m上的两个动点，连接BD，CE．
（1）如图①，若∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE，求*：DE=BD+CE；
（2）如图②，若∠BAC=∠BDA=∠AEC，则（1）中的结论DE=BD+CE还成立吗？请说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，试判定△DEF的形状，并说明理由．
【回答】
（1）*见解析；（2）成立，*见解析；（3）△DFE是等边三角形，*见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据条件可以得出∠DAB=∠ACE，就可以得出△ADB≌△CEA就可以得出BD=AE，AD=CE即可得出结论； （2）根据三角形的内角和定理就可以得出∠DAB=∠ACE，就可以得出△ADB≌△CEA，就可以得出结论； （3）由等边三角形的*质就可以得出∠BAC=120°，就可以得出△FDB≌△FEA，就可以得出DF=EF，∠DFB=∠EFA而得出结论．
【详解】
解：（1）∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵BD⊥AD， ∴∠BDA=90°， ∴∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠DBA=∠CAE； ∵CE⊥DE， ∴∠CEA=90°， ∴∠ADB=∠CEA． 在△ADB和△CEA中，
， ∴△ADB≌△CEA（AAS） ∴AD=CE，BD=AE． ∵DE=DA+AE， ∴DE=BD+CE；
（2）（1）中的结论DE=BD+CE仍然成立． 理由：∵∠DAB+BAC+∠CAE=180°，∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°， ∴∠DAB+∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠ACE+∠AEC． ∵∠BAC=∠AEC， ∴∠DAB=∠ACE． 在△ADB和△CEA中
， ∴△ADB≌△CEA（AAS） ∴AD=CE，BD=AE． ∵DE=DA+AE， ∴DE=BD+CE；
（3）△DFE是等边三角形． 理由：∵△ADB≌△CEA， ∴∠DBA=∠EAC，BD=EA． ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴BF=AB=AF=AC=CF，∠ABF=∠CAF=60°， ∴∠ABF+∠DBA=∠CAF+∠EAC， ∴∠DBF=∠EAF． 在△FDB和△FEA中，
， ∴△FDB≌△FEA（SAS）， ∴DF=EF，∠DFB=∠EFA． ∵∠DFB+∠DFA=60°， ∴∠EFA+∠DFA=60°， 即∠DFE=60° ∴△DFE是等边三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与*质的运用，等边三角形的判定与*质的运用，等式的*质的运用，解答时*三角形全等是关键．
知识点：等腰三角形
题型：解答题
