对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x-2k+4的值恒大于零,求x的取值范围.

问题详情：

对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x-2k+4的值恒大于零,求x的取值范围.

【回答】

解把f(x)看成k的函数,设g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4),分类讨论如下:

(1)当x=2时,f(x)=0,

故x=2不满足f(x)>0.

(2)当x≠2时,有g(k)=f(x)=x2+(k-4)x-2k+4=(x-2)k+(x2-4x+4),k∈[-1,1].

f(x)的值(对k∈[-1,1])恒大于零,也就是g(k)(k∈[-1,1])恒大于零,当且仅当线段的两个端点的函数值大于零时,线段在横轴上方,g(k)>0恒成立.

由

解得x<1或x>3.

综上可知,x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).

知识点：*与函数的概念

题型：解答题