设f(x)=(x2-2x+2-a2)ex,(1)讨论该函数的单调.(2)设g(a)为函数f(x)的极大值,...

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问题详情：

设f(x)=(x2-2x+2-a2)ex,

(1)讨论该函数的单调*.

(2)设g(a)为函数f(x)的极大值,*:g(a)<2.

【回答】

【解析】(1)因为f(x)=(x2-2x+2-a2)ex,

所以f′(x)=(x-a)(x+a)ex,

①a>0,由f′(x)>0,可得x<-a或x>a,由f′(x)<0,可得-a<x<a;

②a<0,由f′(x)>0,可得x<a或x>-a,由f′(x)<0,可得a<x<-a;

③a=0,函数在R上递增,

综上,a>0,函数的单调递增区间为(-∞,-a),(a,+∞),单调递减区间为(-a,a);a<0,函数的单调递增区间为(-∞,a),(-a,+∞),单调递减区间为(a,-a);a=0,函数的单调递增区间为(-∞,+∞).

(2)由(1)知g(a)=

因为g(-a)==g(a),

所以g(a)是偶函数,

a<0时,g(a)=2(-a+1)ea,g′(a)=-2aea>0,

所以g(a)在(-∞,0)上为增函数,所以g(a)<2,

a>0时,g(a)=g(-a)<2,

综上,g(a)<2.

知识点：导数及其应用

题型：解答题

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