如图,AB=16,O为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形...
问题详情:
如图,AB=16,O为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧于点P,Q,且点P,Q在AB异侧,连接OP.
(1)求*:AP=BQ;
(2)当BQ=4时,求扇形COQ的面积及的长(结果保留π);
(3)若△APO的外心在扇形COD的内部,请直接写出OC的取值范围.
【回答】
(1)*:连接OQ,如图所示.
∵AP、BQ是⊙O的切线,
∴OP⊥AP,OQ⊥BQ,
∴∠APO=∠BQO=90°.
在Rt△APO和Rt△BQO中,,
∴Rt△APO≌Rt△BQO(HL),
∴AP=BQ.
(2)解:∵Rt△APO≌Rt△BQO,
∴∠AOP=∠BOQ,
∴P、O、Q三点共线.
∵在Rt△BOQ中,cosB===,
∴∠B=30°,∠BOQ=60°,
∴OQ=OB=4,
∴S扇形COQ==π.
∵∠COD=90°,
∴∠QOD=90°+60°=150°,
∴优弧的长==π.
(3)解:设点M为Rt△APO的外心,则M为OA的中点,
∵OA=8,
∴OM=4,
∴当△APO的外心在扇形COD的内部时,OM<OC,
∴OC的取值范围为4<OC<8.
知识点:弧长和扇形面积
题型:解答题