圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).(1)*...
问题详情:
圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)*:不论m取什么数,直线l与圆C恒交于两点;
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度,并求此时m的值.
【回答】
解:(1)* ∵直线l的方程可化为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0(m∈R).
∴l过的交点M(3,1).即l恒过定点M(3,1),
又∵M到圆心C(1,2)的距离
d==<5,∴点M(3,1)在圆内,
∴过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点.
(2) ∵过点M(3,1)的所有弦中,弦心距d≤,弦心距、半弦长和半径r满足勾股定理,
∴当d2=5时,半弦长的平方的最小值为25-5=20.
∴弦长AB的最小值|AB|min=4.
此时,kCM=-,kl=-.
∵l⊥CM,∴·=-1,解得m=-.
∴当m=-时,取到最短弦长为4.
知识点:圆与方程
题型:解答题