）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C...
问题详情：
）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=
与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．
（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）
【回答】
【分析】（I）联立
，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=
，利用导数的运算法则可得：y′=
，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．
（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=
．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可*．
【解答】解：（I）联立
，不妨取M
，N
，
由曲线C：y=
可得：y′=
，
∴曲线C在M点处的切线斜率为
=
，其切线方程为：y﹣a=
，化为
．
同理可得曲线C在点N处的切线方程为：
．
（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出*：
设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．
联立
，化为x2﹣4kx﹣4a=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．
∴k1+k2=
+
=
=
．
当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，
∴∠OPM=∠OPN．
∴点P（0，﹣a）符合条件．
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
知识点：导数及其应用
题型：综合题
