如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合,O...
问题详情:
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合,OD交BC于点F,OE经过点C,且∠DOE=∠B.
(1)*△COF是等腰三角形,并求出CF的长;
(2)将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转,OD,OE与边AC分别交于点M,N(如图2),当CM的长是多少时,△OMN与△BCO相似?
【回答】
1)*见解析. .(2)当CM的长是或时,△OMN与△BCO相似.
【解析】
试题分析:(1)易*∠OCB=∠B,由条件∠DOE=∠B可得∠OCB=∠DOE,从而得到△COF是等腰三角形,过点F作FH⊥OC,垂足为H,如图1,由等腰三角形的三线合一可求出CH,易*△CHF∽△BCA,从而可求出CF长.
试题解析:(1)∵∠ACB=90°,点O是AB的中点,
∴OC=0B=OA=5.
∴∠OCB=∠B,∠ACO=∠A.
∵∠DOE=∠B,
∴∠FOC=∠OCF.
∴FC=FO.
∴△COF是等腰三角形.
过点F作FH⊥OC,垂足为H,如图1,
(2)①若△OMN∽△BCO,如图2,
则有∠NMO=∠OCB.
∵∠OCB=∠B,
∴∠NMO=∠B.
∵∠A=∠A,
∴△AOM∽△ACB.
∴.
∵∠ACB=90°,AB=10,BC=6,
∴AC=8.
∵AO=5,AC=8,AB=10,
∴AM=.
∴CM=AC-AM=.
②若△OMN∽△BOC,如图3,
则有∠MNO=∠OCB.
∵∠OCB=∠B,
∴∠MNO=∠B.
∵∠ACO=∠A,
∴△CON∽△ACB.
∴.
∵BC=6,AB=10,AC=8,CO=5,
∴ON=,CN=.
∵GN=,BC=6,AB=10,
∴MN=.
∴CM=CN-MN=-=.
∴当CM的长是或时,△OMN与△BCO相似.
【考点】1.圆的综合题;2.全等三角形的判定与*质;3.直角三角形斜边上的中线;4.勾股定理;5.相似三角形的判定与*质.
知识点:相似三角形
题型:解答题