已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C...

问题详情：

已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC

（1）求过点A，B的直线的函数表达式；

（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．

【回答】

（1）y＝x+；（2）D点位置见解析，D（，0）；（3）符合要求的m的值为或．

【分析】

（1）先根据A（−3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；

（2）运用相似三角形的*质就可求出点D的坐标；

（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的*质建立关于m的方程，就可解决问题．

【详解】

解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），

∴AC＝4，

∵BC＝AC，

∴BC＝×4＝3，

∴B（1，3），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∴，

∴，

∴直线AB的解析式为y＝x+；

（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，

∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，

此时＝，即AB2＝AC•AD．

∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝5，

∴25＝4AD，

∴AD＝，

∴OD＝AD﹣AO＝﹣3＝，

∴点D的坐标为（，0）；

（3）∵AP＝DQ＝m，

∴AQ＝AD﹣QD＝﹣m．

Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，

则有＝，

∴AP•AD＝AB•AQ，

∴m＝5（﹣m），

解得m＝；

Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，

则有＝，

∴AP•AB＝AD•AQ，

∴5m＝（﹣m），

解得：m＝，

综上所述：符合要求的m的值为或．

【点睛】

此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与*质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．

知识点：相似三角形

题型：解答题