若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．...

问题详情：

若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．

（1）求二次函数表达式；

（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；

（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．

【回答】

【分析】（1）用A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．

（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当常数求直线BP解析式，进而求直线BP与x轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA以x轴为界分成△ABC与△ACP，即得到S△PBA＝AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t的方程，解之即求得点P坐标．

（3）作点O关于直线AB的对称点E，根据轴对称*质即有AB垂直平分OE，连接BE交抛物线于点M，即有BE＝OB，根据等腰三角形三线合一得∠ABO＝∠ABM，即在抛物线上（AB下方）存在点M使∠ABO＝∠ABM．设AB与OE交于点G，则G为OE中点且OG⊥AB，利用△OAB面积即求得OG进而得OE的长．易求得∠OAB＝∠BOG，求∠OAB的正弦和余弦值，应用到Rt△OEF即求得OF、EF的长，即得到点E坐标．求直线BE解析式，把BE解析式与抛物线解析式联立，求得x的解一个为点B横坐标，另一个即为点M横坐标，即求出点M到y轴的距离．

【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）

∴   解得：

∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2

（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D

设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）

∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2

设直线BP解析式为y＝kx﹣2

把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2

∴k＝t﹣

∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2

当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝

∴C（，0）

∵t＞3

∴t﹣2＞1

∴，即点C一定在点A左侧

∴AC＝3﹣

∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC（OB+PD）＝4

∴＝4

解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）

∴t2﹣t﹣2＝

∴点P的坐标为（4，）

（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．

如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F

∴AB垂直平分OE

∴BE＝OB，OG＝GE

∴∠ABO＝∠ABM

∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°

∴OA＝3，OB＝2，AB＝

∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝

∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG

∴OG＝

∴OE＝2OG＝

∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°

∴∠OAB＝∠BOG

∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝

∴EF＝OE＝，OF＝OE＝

∴E（，﹣）

设直线BE解析式为y＝ex﹣2

把点E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣

∴直线BE：y＝﹣x﹣2

当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝

∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的*质，等腰三角形*质，三角函数的应用．第（3）题点的存在*问题，可先通过画图确定满足∠ABO＝∠ABM的点M位置，通过相似三角形对应边成比例或三角函数为等量关系求线段的长．

知识点：各地中考

题型：综合题