二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（－1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C.动点M从点A出发...

问题详情：

二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（－1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C.动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒.

     （1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；

     （2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；

     （3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；

     （4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠QAC＝900,求点Q的坐标.

【回答】

【*】（1）y＝－x2+x+2．

       （2）  2

       （3） D（1，3）

       （4）Q（，）或Q（，－）

【考点】二次函数的综合应用.

【考察能力】运算求解能力、推理论*能力、空间想象能力.

【难度】困难

【解析】  （1）将点A（－1，0），点B（4，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：

                   解得： 

      所以，二次函数的表达式为：y＝－x2+x+2．

     （2）     ∵ t＝，

∴AM＝3，

又∵OA＝1, ∴ OM＝2, 

     设BC的解析式为：y＝kx+b  (k≠0),将点C（0,2）、B（4，0）代入，得：

     解得： 

所以直线BC的解析式为：y＝－x+2．

将x＝2分别代入y＝－x2+x+2和y＝－x+2中，得：D（2，3）、N（2，1）

∴DN＝2, 

              ∴ S△DNB＝×2×2＝2. 

         (3)过点P作x轴的平行线，交y轴于点E，过点B作y 轴的平行线，交EP的延长线于点F，设D（m，－m2+m+2）、E（0，n）、P（m,n）、F（4，n），由题意得：

               △PEC≌△BFP,

∴PE＝BF,   CE＝PF

∴    ∴  

所以，点D的坐标为：（1，3）.

       （4）当t＝时，AM＝,此时M点在二次函数的对称轴上，

        以M点为圆心，AM长为半径作圆，交MN于Q1、Q2两点，

∵C（0，2） ，M（，0）

∴CM＝＝R,

∴C点在该圆上

∴∠ACB＝900,

∴∠CAB+∠CBA＝900,

∵∠CQ1A＝∠CAB,  (同弧所对的圆周角) 

∴∠C Q1A+∠CBA＝900,

∠C Q2A+∠CBA＝900,

∴Q（，）或Q（，－）

知识点：各地中考

题型：解答题