如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上...

问题详情：

如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．

（1）b=　 　，点B的坐标是　 　；

（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0）在二次函数y=﹣+bx+2的图象上，

∴﹣﹣4b+2=0，

∴b=﹣．

当y=0时，有﹣x2﹣x+2=0，

解得：x1=﹣4，x2=，

∴点B的坐标为（，0）．

故*为：﹣；（，0）．

（2）当x=0时，y=﹣x2﹣x+2=2，

∴点C的坐标为（0，2）．

设直线AC的解析式为y=kx+c（k≠0），

将A（﹣4，0）、C（0，2）代入y=kx+c中，

得：，解得：，

∴直线AC的解析式为y=x+2．

假设存在，设点M的坐标为（m，m+2）．

①当点P、B在直线AC的异侧时，点P的坐标为（m﹣，m+3），

∵点P在抛物线y=﹣x2﹣x+2上，

∴m+3=﹣×（m﹣）2﹣×（m﹣）+2，

整理，得：12m2+20m+9=0．

∵△=202﹣4×12×9=﹣32＜0，

∴方程无解，即不存在符合题意得点P；

②当点P、B在直线AC的同侧时，点P的坐标为（m+，m+1），

∵点P在抛物线y=﹣x2﹣x+2上，

∴m+1=﹣×（m+）2﹣×（m+）+2，

整理，得：4m2+44m﹣9=0，

解得：m1=﹣，m2=，

∴点P的横坐标为﹣2﹣或﹣2+．

综上所述：存在点P，使得PM：MB=1：2，点P的横坐标为﹣2﹣或﹣2+．

（3）∠CBA=2∠CAB，理由如下：

作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，如图2所示．

∵点B（，0），点C（0，2），

∴OB=，OC=2，BC=．

设OE=n，则CE=2﹣n，EF=n，

由面积法，可知：OB•CE=BC•EF，即（2﹣n）=n，

解得：n=．

∵==，∠AOC=90°=∠BOE，

∴△AOC∽△BOE，

∴∠CAO=∠EBO，

∴∠CBA=2∠EBO=2∠CAB．

【点评】题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与*质，解题的关键是：（1）由点A的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征求出b的值；（2）分B、P在直线AC的同侧和异侧两种情况找出点P的坐标；（3）构造相似三角形找出两角的数量关系．

知识点：各地中考

题型：综合题