设函数f（x）=（x﹣a）lnx+b．（Ⅰ）当a=0时，讨论函数f（x）在[，+∞）上的零点个数；（Ⅱ）当a＞...
问题详情：
设函数f（x）=（x﹣a）lnx+b．
（Ⅰ）当a=0时，讨论函数f（x）在[
，+∞）上的零点个数；
（Ⅱ）当a＞1且函数f（x）在（1，e）上有极小值时，求实数a的取值范围．
【回答】
解：（1）f'（x）=ex（ax2+x+1）+ex（2ax+1）=
，
当
时，
，f（x）在R上单调递增；
当
时，f'（x）＞0，解得x＞﹣2或
；f'（x）＜0，解得
，
故函数f（x）在
和（﹣2，+∞）上单调递增，在
上单调递减．
当
时，f'（x）＞0，解得
或x＜﹣2；f'（x）＜0，解得
，
故函数f（x）在（﹣∞，﹣2）和
上单调递增，在
上单调递减．
所以当
时，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，+∞）；
当
时，f（x）的单调递增区间是
和（﹣2，+∞），单调递减区间是
；
当
时，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）和
，单调递减区间是
．
（2）*：∵x=1时，f（x）有极值，∴f'（x）=3e（a+1）=0，∴a=﹣1，
∴f（x）=ex（﹣x2+x+1），f'（x）=﹣ex（x﹣1）（x+2），
由f'（x）＞0，得﹣2＜x＜1，∴f（x）在[﹣2，1]上单调递增．
∵
，∴sinθ，cosθ∈[0，1]，
∴|f（cosθ）﹣f（sinθ）|≤f（1）﹣f（0）=e﹣1＜2．
知识点：导数及其应用
题型：解答题
