如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△...
问题详情：
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是________.
【回答】
0或1＜AF＜
或4.
【解析】以EF为斜边的直角三角形的直角顶点P是以EF为直径的圆与矩形边的交点, 取EF的中点O,
(1) 如图1, 当圆O与AD相切于点G时, 连结OG, 此时点G与点P重合,只有一个点, 此时AF=OG=DE=1;
(2) 如图2,
当圆O与BC相切于点G, 连结OG,EG, FG, 此时有三个点P可以构成Rt△EFP,
∵OG是圆O的切线,∴OG⊥BC
∴OG∥AB∥CD
∵OE=OF,
∴BG=CG,∴OG=
(BF+CE),
设AF=x, 则BF=4-x, OG=
(4-x+4-1)= 
(7-x)
则EF=2OG=7-x, EG
=EC
+CG
=9+1=10,FG
=BG
+BF
=1+(4-x) 
，
在Rt△EFG中, 由勾股定理得EF
=EG
+FG
,
得(7-x) 
=10+1+(4-x)2,解得x=
，
所以当1<AF<
时,以EF为直径的圆与矩形ABCD的交点 (除了点E和F) 只有两个;
(3)因为点F是边AB上一动点:
当点F与B点重合时, AF=4, 此时Rt△EFP正好有两个符合题意，如图3;
故*为0或1＜AF＜ 
或4.
知识点：特殊的平行四边形
题型：填空题
