如图所示,四棱锥S﹣ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠ABC=90°,,BC=1,AS=2,∠ACD=60°,...
问题详情:
如图所示,四棱锥S﹣ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠ABC=90°,,BC=1, AS=2,∠ACD=60°,E为CD的中点.
(1)求*:BC∥平面SAE;
(2)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.
【回答】
【解析】*:(1)因为,BC=1,∠ABC=90°,
所以AC=2,∠BCA=60°,
在△ACD中,,AC=2,∠ACD=60°,
由余弦定理可得:AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD
解得:CD=4
所以AC2+AD2=CD2,所以△ACD是直角三角形,
又E为CD的中点,所以
又∠ACD=60°,所以△ACE为等边三角形,
所以∠CAE=60°=∠BCA,所以BC∥AE,
又AE⊂平面SAE,BC⊄平面SAE,
所以BC∥平面SAE.
解:(2)由(1)可知∠BAE=90°,以点A为原点,
以AB,AE,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则S(0,0,2),,,.
所以,,.
设为平面SBC的法向量,则,即
设x=1,则y=0,,即平面SBC的一个法向量为,
所以
所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题