在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．（Ⅰ）*：P...
问题详情：
在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．
（Ⅰ）*：PC⊥BD
（Ⅱ）若E是PA的中点，且△ABC与平面PAC所成的角的正切值为
，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．
【回答】
*：（Ⅰ）因为底面是菱形，所以BD⊥AC．（1分） 又PB=PD，且O是BD中点，所以BD⊥PO．（2分）
PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC．（3分） 又PC⊂面PAC，所以BD⊥PC．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，OE是BE在面PAC上的*影， 所以∠OEB是BE与面PAC所成的角．
在Rt△BOE中，
，BO=1，所以
．
在Rt△PEO中，
，
，所以
．
所以
，又
， 所以PO2+AO2=PA2，所以PO⊥AO．
又PO⊥BD，BD∩AO=O，所以PO⊥面ABCD．（6分）
如图，以
建立空间直角坐标系，
，B（0，1，0），
，
，
，
，
．（9分）
设面BEC的法向量为
，则
，
即
，得方程的一组解为
，
即
．（10分）
又面AEC的一个法向量为
，（11分）
所以
，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为
．（12分）
知识点：点 直线 平面之间的位置
题型：解答题
