如下图，过抛物线y2＝2px(p>0)上一定点P(x0，y0)(y0>0)，作两条直线分别交抛物线...

问题详情：

如下图，过抛物线y2＝2px (p>0)上一定点P(x0，y0)(y0>0)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并*直线AB的斜率是非零常数．

【回答】

 【解析】(1)当y＝时，x＝，又抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，

由抛物线定义得，所求距离为－＝.

(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，由y＝2px1，y＝2px0，相减得

(y1－y0)(y1＋y0)＝2p(x1－x0)，故kPA＝＝(x1≠x0)．

同理可得kPB＝(x2≠x0)．由PA、PB倾斜率角互补知kPA＝－kPB，即＝－.

∴y1＋y2＝－2y0，故＝－2.

设直线AB的斜率为kAB，由y＝2px2，y＝2px1，相减得(y2－y1)(y2＋y1)＝2p(x2－x1)．

∴kAB＝＝(x1≠x2)．将y1＋y2＝－2y0(y0>0)代入得kAB＝＝－，所以kAB是非零常数．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题