如图,M为等边△ABC内部的一点,且MA=8,MB=10,MC=6,将△BMC绕点C顺时针旋转得到△ANC.下...
问题详情:
如图,M为等边△ABC内部的一点,且MA=8,MB=10,MC=6,将△BMC绕点C顺时针旋转得到△ANC.下列说法中:①MC=NC;②AM=AN;③S四边形AMCN=S△ABC﹣S△ABM;④∠AMC=120°.正确的有__________.(请填上番号)
【回答】
①③
【考点】全等三角形的判定与*质;等边三角形的*质.
【分析】根据旋转的*质得到CM=CN,BM=AN,故①正确,②错误;△BCM≌△ACN,于是得到S△BCM=S△ACN,求得S四边形AMCN=S△ACM+S△ACN=S△ABC﹣S△ABM;故③正确;连接MN,根据等边三角形的*质得到∠ACB=60°,推出△CMN是等边三角形,根据等边三角形的*质得到∠CMN=60°,MN=CM=6,根据勾股定理的逆定理得到∠AMN=90°,求得∠AMC=150°,故④错误.
【解答】解:∵△BMC绕点C顺时针旋转得到△ANC,
∴CM=CN,BM=AN,故①正确,②错误;
△BCM≌△ACN,
∴S△BCM=S△ACN,
∴S四边形AMCN=S△ACM+S△ACN=S△ABC﹣S△ABM;故③正确;
连接MN,∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∵∠ACN=∠BCM,
∴∠MCN=60°,
∴△CMN是等边三角形,
∴∠CMN=60°,MN=CM=6,
在△AMN中,∵AM2+MN2=82+62=102=AN2,
∴∠AMN=90°,
∴∠AMC=150°,故④错误,
故*为:①③.
【点评】本题考查了全等三角形的*质,旋转的*质,等边三角形的*质,勾股定理的逆定理,连接MN构造等边三角形是解题的关键.
知识点:等腰三角形
题型:填空题