如图,正方形ABCD的边长为8cm,E.F、G分别是AB.CD.DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.(1)...
问题详情:
如图,正方形ABCD的边长为8cm,E.F、G分别是上的动点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求*:四边形EFGH是正方形;
(2)判断直线EG是否经过某一定点,说明理由;
(3)求四边形EFGH面积的最小值.
【回答】
(1)*:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=90°,
AB=DA,
∵AE= DH,
∴BE= AH,
∴△AEH≌△BFE,
∴EH=FE,∠AHE=∠BEF,
同理:FE=GF=HG,
∴EH= FE=GF=HG,
∴四边形EFGH是菱形,
∵∠A=90°,
∴∠AHE+∠AEH=90°,
∴∠BEF+∠AEH=90°,
∴∠FEH=90°,
∴菱形EFGH是正方形;
(2)解:直线EG经过正方形ABCD的中心,
理由如下:连接BD交EG于点O,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥DC,AB=DC
∴∠EBD=∠GDB,
∵AE= CG,
∴BE= DG,
∵∠EOB=∠GOD,
∴△EOB≌△GOD,
∴BO=DO,即点O为BD的中点,
∴直线EG经过正方形ABCD的中心;
(3)解:设AE= DH=x,
则AH=8-x,
在Rt△AEH中,EH2=AE2+AH2=x2+(8-x)2= 2x2-16x+64=2(x-4)2+32,
∴四边形EFGH面积的最小值为32cm².
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题