如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与...

国语站题库 2.21W

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如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为________．

【回答】

a 【考点】切线的*质【解析】【解答】解：如图，连接OE、OF， ∵由切线的*质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°， ∴OECF是正方形， ∵由△ABC的面积可知 ×AC×BC= ×AC×OE+ ×BC×OF， ∴OE=OF= a=EC=CF，BF=BC﹣CF=0.5a，GH=2OE=a， ∵由切割线定理可得BF2=BH•BG， ∴ a2=BH（BH+a）， ∴BH= a或BH= a（舍去）， ∵OE∥DB，OE=OH， ∴△OEH∽△BDH， ∴ = ， ∴BH=BD，CD=BC+BD=a+ a= a．故*为： a．【分析】连接OE、OF，由切线的*质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半径为0.5a，则BF=a﹣0.5a=0.5a，再由切割线定理可得BF2=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的*质即可求出BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出*．