如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D,OB与⊙O相交于点E.(1)求*:AC...
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如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D,OB与⊙O相交于点E.
(1)求*:AC是⊙O的切线;
(2)若BD=,BE=1.求*影部分的面积.
【回答】
【分析】(1)连接OD,作OF⊥AC于F,如图,利用等腰三角形的*质得AO⊥BC,AO平分∠BAC,再根据切线的*质得OD⊥AB,然后利用角平分线的*质得到OF=OD,从而根据切线的判定定理得到结论;
(2)设⊙O的半径为r,则OD=OE=r,利用勾股定理得到r2+()2=(r+1)2,解得r=1,则OD=1,OB=2,利用含30度的直角三角三边的关系得到∠B=30°,∠BOD=60°,则∠AOD=30°,于是可计算出AD=OD=,然后根据扇形的面积公式,利用*影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF进行计算.
【解答】(1)*:连接OD,作OF⊥AC于F,如图,
∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,
∴AO⊥BC,AO平分∠BAC,
∵AB与⊙O相切于点D,
∴OD⊥AB,
而OF⊥AC,
∴OF=OD,
∴AC是⊙O的切线;
(2)解:在Rt△BOD中,设⊙O的半径为r,则OD=OE=r,
∴r2+()2=(r+1)2,解得r=1,
∴OD=1,OB=2,
∴∠B=30°,∠BOD=60°,
∴∠AOD=30°,
在Rt△AOD中,AD=OD=,
∴*影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF
=2××1×﹣
=﹣.
【点评】本题考查了切线的判定与*质:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了等腰三角形的*质.
知识点:各地中考
题型:解答题