(2019·四川中考模拟)如图,⊙O是△ABC的外接圆,点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD...
问题详情:
(2019·四川中考模拟)如图,⊙O是△ABC的外接圆,点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.
(1)求*:PD是⊙O的切线;
(2)求*:△ABD∽△DCP;
(3)当AB=5cm,AC=12cm时,求线段PC的长.
【回答】
(1)*见解析;(2)*见解析;(3)CP=16.9cm.
【解析】
(1)如图,连接OD,
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAD,
∵∠BOD=2∠BAD,
∴∠BOD=∠BAC=90°,
∵DP∥BC,
∴∠ODP=∠BOD=90°,
∴PD⊥OD,
∵OD是⊙O半径,
∴PD是⊙O的切线;
(2)∵PD∥BC,
∴∠ACB=∠P,
∵∠ACB=∠ADB,
∴∠ADB=∠P,
∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠DCP=180°,
∴∠DCP=∠ABD,
∴△ABD∽△DCP;
(3)∵BC是⊙O的直径,
∴∠BDC=∠BAC=90°,
在Rt△ABC中,BC==13cm,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠BOD=∠COD,
∴BD=CD,
在Rt△BCD中,BD2+CD2=BC2,
∴BD=CD=BC=,
∵△ABD∽△DCP,
∴,
∴,
∴CP=16.9cm.
【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与*质等,熟练掌握切线的判定方法、相似三角形的判定与*质定理是解题的关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题