已知抛物线经过点A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－3).(Ⅰ)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;(Ⅱ)直...

问题详情：

已知抛物线经过点A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－3).

(Ⅰ)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;

(Ⅱ)直线CD交x轴于点E,过抛物线上在对称轴右边的点P,作y轴的平行线交x轴于点F,交直线CD于点M,使PM=EF,请求出点P的坐标;

(Ⅲ)将抛物线沿对称轴平移,要使抛物线与(Ⅱ)中的线段EM总有交点,那么抛物线向上最多平移多少个单位长度?向下最多平移多少个单位长度?

【回答】

解:(Ⅰ)设抛物线解析式为y=a(x＋1)(x－3),

把点C(0,－3)代入得:a×1×(－3)=－3,

解得a=1,

∴抛物线解析式为y=(x＋1)(x－3),

即y=x2－2x－3,

∵y=x2－2x－3=(x－1)2－4,

∴顶点D的坐标为(1,－4);

(Ⅱ)如解图,设直线CD的解析式为y=kx＋b,

把点C(0,－3),D(1,－4)代入得

,解得,

∴直线CD的解析式为y=－x－3,

当y=0时,－x－3=0,

解得x=－3,

则E(－3,0),

设P(t,t2－2t－3)(t＞1),

则M(t,－t－3),F(t,0),

∴EF=t＋3,PM=t2－2t－3－(－t－3)=t2－t,

而PM=EF,

∴t2－t=(t＋3),

整理得5t2－7t－6=0,

解得t1=－(舍去),t2=2,

当t=2时,t2－2t－3=22－2×2－3=－3,

∴点P坐标为(2,－3);

第1题解图

(Ⅲ)当t=2时,点M的坐标为(2,－5),

设平移后的抛物线解析式为y=x2－2x－3＋m,

当抛物线y=x2－2x－3＋m与直线y=－x－3有唯一公共点时,

令方程x2－2x－3＋m=－x－3,即x2－x＋m=0有两个相等的实数解,

则b2－4ac=1－4m=0,

解得m=;

若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点M(2,－5),

则4－4－3＋m=－5,解得m=－2;

若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点E(－3,0),

则9－2×(－3)－3＋m=0,

解得m=－12,

∴抛物线向上最多平移个单位长度,向下最多平移12个单位长度.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题