已知抛物线过点,两点,与y轴交于点C,.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)过点A作,垂足为M,求*:...
问题详情:
已知抛物线过点,两点,与y轴交于点C,.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)过点A作,垂足为M,求*:四边形ADBM为正方形;
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当面积最大时,求点P的坐标;
(4)若点Q为线段OC上的一动点,问:是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)抛物线的表达式为:,顶点;(2)*见解析;(3)点;(4)存在,的最小值为.
【解析】
(1)设交点式,利用待定系数法进行求解即可;
(2)先*四边形ADBM为菱形,再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得*;
(3)先求出直线BC的解析式,过点P作y轴的平行线交BC于点N,设点,则点N,根据可得关于x的二次函数,继而根据二次函数的*质进行求解即可;
(4)存在,如图,过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F,过点A作,垂足为H,交y轴于点Q, 此时,则最小值,求出直线HC、AH的解析式即可求得H点坐标,进行求得AH的长即可得*.
【详解】
(1)函数的表达式为:,
即:,解得:,
故抛物线的表达式为:,
则顶点;
(2),,
∵A(1,0),B(3,0),∴ OB=3,OA=1,
∴AB=2,
∴,
又∵D(2,-1),
∴AD=BD=,
∴AM=MB=AD=BD,
∴四边形ADBM为菱形,
又∵,
菱形ADBM为正方形;
(3)设直线BC的解析式为y=mx+n,
将点B、C的坐标代入得:,
解得:,
所以直线BC的表达式为:y=-x+3,
过点P作y轴的平行线交BC于点N,
设点,则点N,
则,
,故有最大值,此时,
故点;
(4)存在,理由:
如图,过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F,过点A作,垂足为H,交y轴于点Q,
此时,
则最小值,
在Rt△COF中,∠COF=90°,∠FOC=30°,OC=3,tan∠FCO=,
∴OF=,
∴F(-,0),
利用待定系数法可求得直线HC的表达式为:…①,
∵∠COF=90°,∠FOC=30°,
∴∠CFO=90°-30°=60°,
∵∠AHF=90°,
∴∠FAH=90°-60°=30°,
∴OQ=AO•tan∠FAQ=,
∴Q(0,),
利用待定系数法可求得直线AH的表达式为:…②,
联立①②并解得:,
故点,而点,
则,
即的最小值为.
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题,涉及了待定系数法,解直角三角形的应用,正方形的判定,最值问题等,综合*较强,有一定的难度,正确把握相关知识,会添加常用辅助线是解题的关键.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题