已知A1、A2、A3是抛物线上的三点,A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线...

问题详情：

已知A1、A2、A3是抛物线上的三点,A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C。

（1） 如图1，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长。

（2）如图2，若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长。

（3）若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出*）。

【回答】

解：（1）∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，

∴A1B1= ，A2B2＝，A3B3＝

设直线A1A3的解析式为y＝kx＋b。

∴  解得

∴直线A1A2的解析式为。

∴CB2＝2×2－＝

∴CA2=CB2－A2B2=－2＝。

  (2)设A1、A2、A3三点的横坐标依次n－1、n、n＋1。

                则A1B1= ，A2B2=n2－n＋1，

                  A3B3=(n＋1)2－（n＋1）＋1。

设直线A1A3的解析式为y＝kx＋b

∴

解得

∴直线A1A3的解析式为

∴CB2＝n（n－1）－n2＋＝n2－n＋

∴CA2= CB2－A2B2=n2－n＋－n2＋n－1＝。

          (3)当a＞0时，CA2＝a；当a＜0时，CA2＝－a

知识点：实际问题与二次函数

题型：综合题