已知函数,.(1)设,求的最小值;(2)*:当时,总存在两条直线与曲线与都相切.
问题详情:
已知函数,.
(1)设,求的最小值;
(2)*:当时,总存在两条直线与曲线与都相切.
【回答】
解:
(Ⅰ)F(x)=(x+1)ex-1,
当x<-1时,F(x)<0,F(x)单调递减;
当x>-1时,F(x)>0,F(x)单调递增,
故x=-1时,F(x)取得最小值F(-1)=-. …4分
(Ⅱ)因为f(x)=ex-1,
所以f(x)=ex-1在点(t,et-1)处的切线为y=et-1x+(1-t)et-1; …5分
因为g(x)=,
所以g(x)=lnx+a在点(m,lnm+a)处的切线为y=x+lnm+a-1, …6分
由题意可得则(t-1)et-1-t+a=0. …7分
令h(t)=(t-1)et-1-t+a,则h(t)=tet-1-1
由(Ⅰ)得t<-1时,h(t)单调递减,且h(t)<0;
当t>-1时,h(t)单调递增,又h(1)=0,t<1时,h(t)<0,
所以,当t<1时,h(t)<0,h(t)单调递减;
当t>1时,h(t)>0,h(t)单调递增. …9分
由(Ⅰ)得h(a-1)=(a-2)ea-2+1≥-+1>0, …10分
又h(3-a)=(2-a)e2-a+2a-3>(2-a)(3-a)+2a-3=(a-)2+>0, …11分
h(1)=a-1<0,所以函数y=h(t)在(a-1,1)和(1,3-a)内各有一个零点,
故当a<1时,存在两条直线与曲线f(x)与g(x)都相切. …12分
知识点:基本初等函数I
题型:解答题