设，等差数列中，，记=，令，数列的前n项和为.（1）求的通项公式和；（2）求*：；（3）是否存在正整数，且，使...

问题详情：

设，等差数列中，，记=，令，数列的前n项和为.

（1）求的通项公式和；

（2）求*：；

（3）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

【回答】

解：（1）设数列的公差为，由,

.解得，=3 ，        ……………2分

 ∴                                         ……………4分

∵，   ∴Sn==.            ……………6分

（2） 

∴              ……………8分

∴                                ……………10分

（3）由(2)知，    ∴，，∵成等比数列.

 ∴                                  ……………12分

 即

当时，7，=1，不合题意；当时，，=16，符合题意；

当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；

……………15分

当时， ，则，而，

所以，此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得成等比数列. ……………17分

综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列. ……………18分[来

另解：

  （3）由(2)知，    ∴，  

∵成等比数列. ∴ ，         ……………12分

取倒数再化简得 

当时，，=16，符合题意；              ……………14分

，

而，

所以，此时不存在正整数m、n , 且1<m<n,使得成等比数列. ……………17分

 综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列.  ……………18分

知识点：数列

题型：解答题