如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥...

问题详情：

如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论：①∠AED=∠ADC；②BE=DE；③AC﹣BE=12；④3BF=4AC；⑤=．其中正确结论的个数有(     )

A．1个  B．2个   C．3个  D．4个

【回答】

D

【考点】相似三角形的判定与*质；全等三角形的判定与*质．

【分析】利用相似三角形的判定方法逐一分析：

由∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，∠EAD=∠DAC判定①；

②BE=DE成立．可知BM：MA=BF：AC=2：1，而BD：DC=2：1，可知DM∥AC，DM⊥BC，利用直角三角形斜边上的中线的*质判断．

易*△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=1：AC，进而得出AC的长，即可得出④*；

连接DM，可*DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易*△FMB∽△CMA，得比例线段求解得出③；

BE=DE成立．由④可知BM：MA=BF：AC=2：1，而BD：DC=2：1，可知DM∥AC，DM⊥BC，利用直角三角形斜边上的中线的*质判断⑤．

【解答】解：∵∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，∠EAD=∠DAC，

∴∠AED=∠ADC．

故①正确；

∵AD平分∠BAC，

∴==，

∴设AB=4x，则AC=3x，

在直角△ABC中，AC2+BC2=AB2，则（3x）2+49=（4x）2，

解得：x=，

∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，

∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：，故⑤不正确；

∵∠AED=∠ADC，

∴∠BED=∠BDA，

又∵∠DBE=∠ABD，

∴△BED∽△BDA，

∴DE：DA=BE：BD，

∵DE：DA=DC：AC，

∴BE：BD=DC：AC，

∴AC•BE=BD•DC=12．

故③正确；

连接DM，

在Rt△ADE中，MD为斜边AE的中线，

则DM=MA．

∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，

∴DM∥BF∥AC，

由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；

由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=4：3，

∴3BF=4AC．

故④正确．

∵BM：MA=BF：AC=2：1，

∵BD：DC=2：1，

∴DM∥AC，DM⊥BC，

∴∠MDA=∠DAC=∠DAM，而∠ADE=90°，

∴DM=MA=ME，在Rt△BDM中，由BM=2AM可知BE=EM，

∴ED=BE．故②正确．

综上所述，①③④⑤正确，共有4个．

故选：D．

【点评】此题考查三角形相似的判定与*质，掌握相似三角形的判断方法与*质运用是解决问题的关键．

知识点：相似三角形

题型：选择题