如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△AB...

问题详情：

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．

（1）求*：BE=CF；

（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求*：ME⊥BC．

【回答】

【解答】*：（1）∵∠BAC=90°，AF⊥AE，

∴∠1+∠EAC=90°∠2+∠EAC=90°

∴∠1=∠2，

又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵FC⊥BC，

∴∠FCA=90°﹣∠ACB=90°﹣45°=45°，

∴∠B=∠FCA，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴BE=CF；

（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，

∴HE=BH，∠BEH=45°，

∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，

∴DE=HE，

∴DE=BH=HE，

∵BM=2DE，

∴HE=HM，

∴△HEM是等腰直角三角形，

∴∠MEH=45°，

∴∠BEM=45°+45°=90°，

∴ME⊥BC．

知识点：三角形全等的判定

题型：解答题