已知:在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,且AC⊥BD,作BF⊥CD,垂足为点F,BF与AC交于点...
问题详情:
已知:在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,且AC⊥BD,作BF⊥CD,垂足为点F,BF与AC交于点C,∠BGE=∠ADE.
(1)如图1,求*:AD=CD;
(2)如图2,BH是△ABE的中线,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍.
【回答】
(1)*见解析;(2)△ACD、△ABE、△BCE、△BHG.
【解析】
分析:(1)由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF,根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得;
(2)设DE=a,先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a,据此知S△ADC=2a2=2S△ADE,*△ADE≌△BGE得BE=AE=2a,再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG,从而得出*.
详解:(1)∵∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF,
∴∠ADE=∠CGF,
∵AC⊥BD、BF⊥CD,
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF,
∴∠DAE=∠GCF,
∴AD=CD;
(2)设DE=a,
则AE=2DE=2a,EG=DE=a,
∴S△ADE=AE×DE=×2a×a=a2,
∵BH是△ABE的中线,
∴AH=HE=a,
∵AD=CD、AC⊥BD,
∴CE=AE=2a,
则S△ADC=AC•DE=•(2a+2a)•a=2a2=2S△ADE;
在△ADE和△BGE中,
∵,
∴△ADE≌△BGE(ASA),
∴BE=AE=2a,
∴S△ABE=AE•BE=•(2a)•2a=2a2,
S△ACE=CE•BE=•(2a)•2a=2a2,
S△BHG=HG•BE=•(a+a)•2a=2a2,
综上,面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG.
点睛:本题主要考查全等三角形的判定与*质,解题的关键是掌握等腰三角形的判定与*质及全等三角形的判定与*质.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题