.设函数f(x)=x-1ex的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).(1)求函数f(x)在[m,m+1](m&g...

问题详情：

.设函数f(x)=x-1ex的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞).

(1)求函数f(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值;

(2)设函数g(x)=若x1≠x2,且g(x1)=g(x2),  *:x1+x2>2.

【回答】

 (1)解:由题意得f'(x)=,则当x>1时,f'(x)>0;              

0<x<1时,f'(x)<0.

由此可知函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.

当m≥1时,函数f(x)在[m,m+1]上是增函数,

此时f(x)min=f(m)=.

当0<m<1时,函数f(x)在[m,1]上是减函数,

在[1,m+1]上是增函数,此时f(x)min=f(1)=e.

(2)*:由题意可得g(x)=xe-x(x∈R),g'(x)=(1-x)e-x.

所以g(x)在(-∞,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.①

设函数F(x)=g(x)-g(2-x),

即F(x)=xe-x+(x-2)ex-2,

于是F'(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x,

当x>1时,2x-2>0,从而e2x-2-1>0,

又e-x>0,所以F'(x)>0,

从而函数F(x)在[1,+∞)上是增函数.

又F(1)=e-1-e-1=0,所以x>1时,

有F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x).②

由①及g(x1)=g(x2)知x1与x2只能在1的两侧.

不妨设0<x1<1,x2>1,

由结论②可知,g(x2)>g(2-x2),

所以g(x1)=g(x2)>g(2-x2).

因为x2>1,所以2-x2<1,

又由结论①可知函数g(x)在(-∞,1)上是增函数,

所以x1>2-x2,即x1+x2>2.

知识点：基本初等函数I

题型：填空题