设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)&...
问题详情：
设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
【回答】
A.记函数g(x)=
,
则g′(x)=
,
因为当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,
故当x>0时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;
又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,
且g(-1)=g(1)=0.
当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;
当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,
综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).
知识点：导数及其应用
题型：选择题
