如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段的长是方程的一个根，．请解答下列问题：（1）求点A，B的坐标...
问题详情：
如图，已知直线
与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段
的长是方程
的一个根，
．请解答下列问题：
（1）求点A，B的坐标；
（2）直线
交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线
于点C．若C是
的中点，
，反比例函数
图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作
，垂足为D，点M在直线
上，点N在直线
上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【回答】
（1）A（9，0），B（0，
）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.
【解析】
（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，再根据
可得点B坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AB的表达式，根据点C是EF的中点，得到点C横坐标，代入可得点C坐标，根据点C在反比例函数图像上求出k值；
（3）画出图形，可得点P共有5个位置，分别求解即可.
【详解】
解：（1）∵线段
的长是方程
的一个根，
解得：x=9或-2（舍），而点A在x轴正半轴，
∴A（9，0），
∵
，
∴B（0，
）；
（2）∵
，
∴E（-6，0），
设直线AB的表达式为y=kx+b，将A和B代入，
得：
，解得：
，
∴AB的表达式为：
，
∵点C是EF的中点，
∴点C的横坐标为-3，代入AB中，y=6，
则C（-3，6），
∵反比例函数
经过点C，
则k=-3×6=-18；
（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
如图，共有5种情况，
在四边形DM1P1N1中，
M1和点A重合，
∴M1（9，0），
此时P1（9，12）；
在四边形DP3BN3中，点B和M重合，
可知M在直线y=x+3上，
联立：
，
解得：
，
∴M（1，4），
∴P3（1，0），
同理可得：P2（9，-12），P4（-7，4），P5（-15，0）.
故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
点P的坐标为P1（9，12），P2（9，-12），P3（1，0），P4（-7，4），P5（-15，0）.
知识点：课题学习 选择方案
题型：解答题
