已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．（1）求过A、B、C三点的...

问题详情：

已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．

（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．

（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【回答】

解：（1）直线y=﹣x+2与x轴交于B（2，0），与y轴交于C点（0，2），

设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

把A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）的坐标代入，

∴a=﹣1，b=1，c=2，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2，

（2）设D（x，﹣x2+x+2），F（x，﹣x+2），

∴DF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，

所以x=1时，DF最大=1，

∵OB=OC，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∵DE⊥BC，DF∥y轴，

∴△DEF为等腰直角三角形，

∴△DEF周长的最大值为1+

（3）如图，

当△DEF周长最大时，D（1，2），F（1，1）．延长DF交x轴于H，作PM⊥DF于M，

则DB=，DH=2，OH=1

当∠DFP=∠DBC时，△DFP∽△DBF，

∴，

∴DP=，

∴=，

∴PM=，DM=，

∴P点的横坐标为OH+PM=1+=，

P点的纵坐标为DH﹣DM=2﹣=，

∴P（，）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题