如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，.（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴...

问题详情：

如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，.

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，

①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；

②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”.请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值.

【回答】

（1）B（0，2），；（2）①点M的坐标为（，0）或M（，0）；②m=-1或m=或m=.

【分析】

(1)把点代入求得c值，即可得点B的坐标；抛物线经过点，即可求得b值，从而求得抛物线的解析式；（2）由轴，M（m，0），可得N()，①分∠NBP=90°和∠BNP =90°两种情况求点M的坐标；②分N为PM的中点、P为NM的中点、M为PN的中点3种情况求m的值.

【详解】

（1）直线与轴交于点，

∴，解得c=2

∴B（0，2），

∵抛物线经过点，

∴，∴b=

∴抛物线的解析式为；

（2）∵轴，M（m，0），∴N()

①有（1）知直线AB的解析式为，OA=3，OB=2

∵在△APM中和△BPN中，∠APM=∠BPN, ∠AMP=90°，

若使△APM中和△BPN相似，则必须∠NBP=90°或∠BNP =90°，

分两种情况讨论如下：

（I）当∠NBP=90°时，过点N作NC轴于点C，

则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，

BC=

∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，

∴∠BNC=∠ABO，

∴Rt△NCB∽ Rt△BOA

∴,即，解得m=0（舍去）或m=

∴M（，0）；

（II）当∠BNP=90°时， BNMN，

∴点N的纵坐标为2，

∴

解得m=0（舍去）或m=

∴M（，0）；

综上，点M的坐标为（，0）或M（，0）；

②由①可知M(m,0),P(m,),N(m,)，

∵M，P，N三点为“共谐点”，

∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，

当P为线段MN的中点时,则有2()=,解得m=3(三点重合,舍去)或m=；

当M为线段PN的中点时,则有+()=0,解得m=3(舍去)或m=−1；

当N为线段PM的中点时,则有=2(),解得m=3(舍去)或m=；

综上可知当M,P,N三点成为“共谐点”时m的值为或−1或.

考点：二次函数综合题.

知识点：二次函数单元测试

题型：解答题