已知函数． ⑴若，求曲线在点处的切线方程；⑵若函数在其定义域内为增函数，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，...
问题详情：
已知函数
．
⑴若
，求曲线
在点
处的切线方程；
⑵若函数
在其定义域内为增函数，设函数
，若在
上至少存在一点
，使得
成立，求实数
的取值范围.
【回答】
解： ⑴当
时，函数
，
．
，
曲线
在点
处的切线的斜率为
．
从而曲线
在点
处的切线方程为
，即
． …3分
⑵
．令
，
要使
在定义域
内是增函数，只需
在
内恒成立． …5分
由题意
，
的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为
，
∴
，只需
，即
时，
………7分
∴
在
内为增函数，正实数
的取值范围是
． ………8分
∵
在
上是减函数，∴
时，
；
时，
，即
， ………10分
当
时，由⑵知
在
上是增函数，
，又
在
上是减函数，故只需
，
，而
，
，
即
，解得
，而
，所以实数
的取值范围是
知识点：导数及其应用
题型：解答题
