如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时...

问题详情：

如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．

（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求*：△BDA∽△BEC；

（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；

（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．

【回答】

【解答】解：（1）如图②中，

由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，

∴DE∥AC，

∴＝，

∴＝，

∵∠DBE＝∠ABC，

∴∠DBA＝∠EBC，

∴△DBA∽△EBC．

（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．

理由：如图③中，设AB交CG于点O．

∵△DBA∽△EBC，

∴∠DAB＝∠ECB，

∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，

∴∠G＝∠ABC＝30°．

（3）如图③﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边△ACO，连接OG，OB．

以O为圆心，OA为半径作⊙O，

∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，

∴∠AGC＝∠AOC，

∴点G在⊙O上运动，

以B为圆心，BD为半径作⊙B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，

∴∠ADB＝90°，

∵BK＝AK，

∴DK＝BK＝AK，

∵BD＝BK，

∴BD＝DK＝BK，

∴△BDK是等边三角形，

∴∠DBK＝60°，

∴∠DAB＝30°，

∴∠DOG＝2∠DAB＝60°，

∴的长＝＝，

观察图象可知，点G的运动路程是的长的两倍＝．

【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和*质，弧长公式，等边三角形的判定和*质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题．

知识点：各地中考

题型：解答题