如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，BD＝DE...

问题详情：

如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，BD＝DE＝2，CE＝，BC＝．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C匀速运动，运动到点C时停止．过点P作PQ⊥BC于点Q，设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（　　）

A．                 B．   

C．                 D．

【回答】

D【分析】根据题意易知道当P在BD上由B向D运动时，△BPQ的高PQ和底BQ都随着t的增大而增大，那么S△BPQ就是PQ和BQ两个一次函数相乘再乘以二分之一，结果是一个二次函数，然后根据它们的斜率乘积的正负*判别抛物线开口方向；当P在DE上有D向E运动时，高PQ不变，底BQ随着t的增大而增大，则S△BPQ是一个一次函数，然后根据斜率的正负*判别图象上升还是下降；当P在EC上由E向C运动时高PQ逐渐减小，底BQ逐渐增大，S△BPQ的图象会是一二次函数，再根据PQ和BQ两个一次函数的斜率乘积的正负*来判断抛物线开口方向．

【解答】解：∵PQ⊥BQ

∴在P、Q运动过程中△BPQ始终是直角三角形．

∴S△BPQ＝PQ•BQ

①当点P在BD上，Q在BC上时（即0s≤t≤2s）

BP＝t，BQ＝PQ•cos60°＝t，PQ＝BP•sin60°＝t

S△BPQ＝PQ•BQ＝•t•t＝t2

此时S△BPQ的图象是关于t（0s≤t≤2s）的二次函数．

∵＞0

∴抛物线开口向上；

②当P在DE上，Q在BC上时（即2s＜t≤4s）

PQ＝BD•sin60°＝×2＝，BQ＝BD•cos60°+（t﹣2）＝t﹣1

S△BPQ＝PQ•BQ＝••（t﹣1）＝t﹣

此时S△BPQ的图象是关于t（2s＜t≤4s）的一次函数．

∵斜率＞0

∴S△BPQ随t的增大而增大，直线由左向右依次上升．

③当P在DE上，P在EC上时（即4s＜t≤s）

PQ＝[CE﹣（t﹣4）]•sin45°＝﹣t（4s＜t≤s），BQ＝BC﹣CQ＝BC﹣[CE﹣（t﹣4）]•cos45°＝﹣（﹣t）＝t+

S△BPQ＝PQ•BQ

由于展开二次项系数a＝k1•k2＝•（﹣）•（）＝﹣

抛物线开口向下，

故选：D．

【点评】本道题考查了图形动点分析能力与分段函数分析能力．充分体现了数形结合的思想．

知识点：解直角三角形与其应用

题型：选择题