已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4．（1...

问题详情：

已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，

且OA=1，OB=3，OC=4．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），

∴

解得：a=，b=，c=3，

∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x2x+3；

∵y=x2x+3=(x+)2+

∴抛物线的顶点坐标是（）

（2）在抛物线上存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积，理由为：

设点P的坐标为P(m，n)，

∵S△ACB =×5×3=， S△ACP =×5×︱n︱

∴×5×︱n︱=，n=±3

∴当n=3时，x2x+3=3，解得x1=0，x2=-3

当n=-3时，x2x+3=-3，解得x1=，x2=

∴P的坐标为P 1(-3，3)，P 2(，-3)，P3(，-3)

（3）在平面直角坐标系xOy中存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形，理由为：

∵OB=3，OC=4，OA=1，

∴BC=AC=5，

当BQ平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，

∴BQ=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，

∴点Q的坐标为（5，3），

当点Q在第二、三象限时，以点A、B、C、Q为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，

则当点Q的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题