如图，抛物线y=ax2+bx过A（﹣4，0），B（﹣1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线...

问题详情：

如图，抛物线y=ax2+bx过A（﹣4，0），B（﹣1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；

（3）点P是抛物线上一动点，且位于x轴的下方，当△ABP的面积为15时，求出点P的坐标；

（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时点N的坐标．

【回答】

【解答】解：（1）把点A（﹣4，0），B（﹣1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，

得，

解得，

∴抛物线表达式为y=﹣x2﹣4x；[来源:学科网ZXXK]

（2）∵y=﹣x2+4x=﹣（x+2）2+4，

∴抛物线对称轴为x=﹣2，

∵点C和点B关于对称轴对称，点B的坐标为（﹣1，3），

∴C（﹣3，3），

∴BC=2，

∴S△ABC=×2×3=3；

（3）如图，过P点作PF垂直x轴，交直线AB于点F，

∵A（﹣4，0），B（﹣1，3），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

则，

解得，

即直线AB的解析式为y=x+4，

设点P（m，﹣m2﹣4m），则F（m，m+4），

∴PF=m+4+m2+4m=m2+5m+4．

∴S△PAB=×（m2+5m+4）×3=15，

m2+5m﹣6=0，

解得m1=﹣6，m2=1，

∴点P坐标为（﹣6，﹣12）或（1，﹣5）；

（4）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：

①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，

则△CBM≌△MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴N（﹣2，0）；

②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，

作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，

得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴EM=CD=5，

∵OH=1，

∴ON=NH﹣OH=5﹣1=4，

∴N（4，0）；

③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，

同理得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴ME=NH=DN=3，

∴ON=3﹣1=2，

∴N（﹣2，0）；

④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，

同理得ME=DN=NH=3，

∴ON=1+3=4，

∴N（﹣4，0）；

⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；

综上可知当△CMN为等腰直角三角形时N点坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题